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矩阵乘法的限制及性质(Constraints and Pro


矩阵乘法的限制

让我们先回到〈矩阵的运算〉中乘法的例子:

矩阵乘法的限制及性质(Constraints and Pro

当两个矩阵相乘,我们要将前一个矩阵第一列的元与后一个矩阵第一行的元,依顺序相乘后相加,所得就是新矩阵第一列第一行的元,也就是 \(3\times 10+1\times 50+0\times 20=80\)。依此规则,就可以求得两个矩阵相乘后的每一个元。

从这个作法中,我们很清楚地看到,两个矩阵在相乘时,必须是前者的行数等于后者的列数,那幺,它们的元才能够一一对应相乘。

因此,只有满足这样限制的矩阵,我们才能够作乘法,用符号来表示:

  设 \(A = {\left[ {{a_{i{\kern 1pt} j}}} \right]_{\;m \times n}}\),\(B = {\left[ {{b_{i{\kern 1pt} j}}} \right]_{\;p \times q}}\)。只有在 \(n=p\) 时,\(A\cdot B\)才有意义。

进一步地,当 \(A\cdot B\) 有意义时,我们可以从乘法的运算中推知,其乘积必是 \(m\times q\) 阶矩阵。
例如上述的例子,\(4\times 3\) 阶矩阵乘以 \(3\times 4\) 阶矩阵,所得是 \(4\times 4\) 阶矩阵。

因此,在〈矩阵的运算〉中所提的第一个问题:「同阶矩阵可以相乘吗?」答案就很清楚了,就是同阶方阵才能相乘,因为  \(m\times n\) 阶矩阵乘以 \(m\times n\) 阶要有意义,就得要 \(m=n\) 不可,也就是方阵的情况了。由此我们也可以推知,\(A,B\) 当都是方阵且 \(A\cdot B\) 与 \(B\cdot A\) 都有意义时,那 \(A\) 与 \(B\) 必定是同阶方阵!(请读者留心此结论,在下一篇〈可逆矩阵〉中,我们将直接使用它)

了解了矩阵乘法的限制后,就可以立刻知道〈矩阵的运算〉中所提的第二个问题:「矩阵的乘法是否也有交换律?」其答案是否定的。举例来说,\(4\times 3\) 阶矩阵乘以 \(3\times 5\) 阶矩阵可以得到 \(4\times 5\) 阶矩阵,但交换过来,\(3\times 5\)  阶矩阵乘以 \(4\times 3\) 阶矩阵就没有意义了,所以,显然矩阵的乘法是不能够交换的!这一点和我们熟悉的数的乘法,或是多项式的乘法就截然不同了。

不过,这在数学中也不是什幺独特的现象,例如两个向量的外积也是不符合交换律的。
再进一步,若 \(A\cdot B\) 与 \(B\cdot A\) 都有意义,那结果也不一定会相同,例如:

\(A = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 3&4 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 5&6 \end{array} \end{array} \right]\),\(B = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 4&5&6 \end{array} \end{array} \right]\),
则 \(A \cdot B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 9&{12}&{15}\\ {19}&{26}&{33}\\ {29}&{40}&{51} \end{array}} \right] \ne B \cdot A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {22}&{28}\\ {49}&{64} \end{array}} \right]\);

\(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right]\),\(D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\),则 \(C \cdot D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 4&3 \end{array}} \right] \ne D \cdot C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ 1&2 \end{array}} \right]\);

\(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right]\),\(I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\),则 \(C \cdot I = I \cdot C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right]\)。

总之,矩阵的乘法虽然可以带给我们某方面的便利性(参阅〈矩阵的运算〉一文),但其操作的方式也导致我们必须放弃乘法的交换性。虽然没有了交换性,我们还是有其他很好的性质。

矩阵乘法的性质

在正式介绍矩阵乘法的性质之前,让我们先看一个特殊的方阵─「单位方阵」,

例如:\({I_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\) 为二阶单位方阵,\({I_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\) 为三阶单位方阵,\({I_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]\) 为四阶单位方阵,

以此类推,也就是只有主对角线(左上角到右下角)上的元是1,其他都是0的方阵,就称为「单位方阵」,习惯以「\(I\)」表示。有了「\(I\)」之后,我们就可以来看矩阵乘法有哪些性质了。

若为 \(r\) 实数,\(A,B,C\) 为矩阵,\(I\) 为单位方阵,\(O\) 为零方阵,且以下所列的各矩阵运算都有意义,则乘法的基本性质有:

\((1)\)   \(A(B+C)=AB+AC\)

\((2)\)   \((A+B)C=AC+BC\)

\((3)\)   \(r(AB)=(rA)B=A(rB)\)

\((4)\)   \(A\cdot I=I\cdot A=A\),故 \(I\) 是乘法的「单位元」

\((5)\)   \(A\cdot O=O\cdot A=O\)

在此仅列出矩阵乘法的基本性质,至于其证明过程,由于仅是许多符号的操作,在此略去。

建议读者自行找例子验证即可。

最后,让我们用 \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\),\(N = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0 \end{array}} \right]\),\(I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\),\(O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

来看矩阵乘法中两个有趣的性质。

第一个是 \(M \cdot N = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right] = O\),两个均不为零矩阵,相乘后竟然会变成零矩阵!这彻地颠覆了我们自学习数的乘法以来的根深蒂固观念:「两个数相乘为零,必至少有一个是零。」虽然在矩阵的乘法中,都是利用数的乘法算出每一个元,但我们是将整个矩阵视为一个整体来看,而非将矩阵视为数。

换言之,非零矩阵相乘会成为零矩阵,这虽然有点「另类」,但仔细想想,其实也没什幺怪异的地方。再说,在数学中其实也有「类似」的结果。如果我们将向量的内积视为某种「乘法」的话,那两个互相垂直的非零向量做内积,结果不就是0吗?

第二个有趣的性质与消去律有关,

在数的运算中,我们知道当 \(a\neq 0\)时且 \(a\cdot b=a\cdot c\),则必有 \(b=c\)。

几乎对每个人来说,这结论是再自然不过的了,但这结论就是没办法递移到矩阵里来,

例如 \(N \cdot M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0 \end{array}} \right] = N \cdot I\),

也就是满足了 \(N\neq O\)且 \(N\cdot M=N\cdot I\)的时候,但我们得到的是 \(M\neq I\)!

换句话说,消去律在矩阵的乘法中是不成立的!换个方式来说这个结论就是:我们可以做数的除法(除数当然不为0),但在矩阵中,没有除法!

上述两个有趣的性质,本质上是一样的,因为从 \(A\cdot B=A\cdot C\) 可得 \(A\cdot (B-C)=O\),而从第一个有趣的性质可以知道,\((B-C)\) 不必然是零矩阵,也就是说,\(B\) 与 \(C\) 不必然会相等了!

接下来我们可以追问的问题就是:在什幺情况之下,我们才可以得到类似消去律的结果呢?也就是说,当 \(A\neq O\) 且 \(A\cdot B=A\cdot C\) 时,还需要何种条件,我们才能够说 \(B=C\) 呢?这问题与上一篇〈矩阵的运算〉中的最后一个问题:「矩阵有乘法反元素吗?」,两者是殊途同归,让我们在下一篇〈可逆方阵〉中一探究竟。



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