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矩阵列运算与基本矩阵

高中程程中,有关线性方程组与矩阵的相关单元里,介绍了矩阵的三种基本的列运算:

本文中,将矩阵列运算与基本矩阵作一连结,并藉此探讨利用增广矩阵以及列运算来求乘法反矩阵的方法。

首先,我们考虑二阶方阵以及 \(2\times k\)阶矩阵。

设二阶方阵 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\)、以及 \(2\times k\) 阶矩阵 \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\) 

(一)令 \({E_{12}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\),此矩阵与第一种列运算有关:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} c&d\\ a&b \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}}\\ {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}} \end{array}} \right]\)

即在二阶方阵 \(A\) 以及 \(2\times k\) 阶矩阵 \(B\) 的左边乘上 \(E_{12}\) 矩阵,相当于将矩阵的第一列与第二列互换。此亦可看成对矩阵进行 \(R_{12}\) 所示之列运算。

(二)令 \(r{E_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)、\(r{E_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]\)

则 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {ra}&{rb}\\ c&d \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ {rc}&{rd} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r{a_{11}}}&{r{a_{12}}}& \ldots &{r{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {r{a_{21}}}&{r{a_{22}}}& \ldots &{r{a_{2k}}} \end{array}} \right]\)

即在二阶方阵 \(A\) 以及 \(2\times k\) 阶矩阵 \(B\) 的左边乘上 \(rE_1\),相当于将矩阵的第一列乘上 \(r\)倍。此亦即对矩阵进行 \(rR_1\) 所示之列运算。

在二阶方阵 \(A\) 以及 \(2\times k\) 阶矩阵的左边乘上 \(rE_2\),相当于将矩阵的第二列乘上 \(r\) 倍。此亦可看成对矩阵进行 \(rR_2\) 所示之列运算。

(三)令 \({E_{r \cdot 1 + 2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]\)、\({E_{r \cdot 2 + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

则 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ {ra + c}&{rb + d} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a+rc&b+rd\\ {c}&{d} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {r{a_{11}} + {a_{21}}}&{r{a_{12}} + {a_{22}}}& \ldots &{r{a_{1k}} + {a_{2k}}} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r{a_{21}} + {a_{11}}}&{r{a_{22}} + {a_{12}}}& \ldots &{r{a_{2k}} + {a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\)

即在二阶方阵 \(A\) 的左边乘上 \(E_{r\cdot 1+2}\) 相当于将方阵 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\) 的第一列乘上 \(r\) 倍加到第二列。此亦即对矩阵进行 \(rR_2+R_1\) 所示之列运算。

在二阶方阵 \(A\) 的左边乘上 \(E_{r\cdot 2+1}\),相当于将方阵 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\) 的第二列乘上 \(r\) 倍加到第一列。此亦可看成对矩阵进行 \(rR_2+R_1\) 所示之列运算。

上述这三类矩阵被称为基本矩阵。在矩阵左边乘上基本矩阵的效果,相当于对矩阵进行列运算。

反之,对矩阵进行列运算相当于在矩阵左边乘上一基本矩阵。

我们易知这三类基本矩阵的行列式值非零,故皆可逆。其中:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\) 的乘法反矩阵为 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)。

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]\) 的乘法反矩阵为 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{1/r} \end{array}} \right]\)、\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\) 的乘法反矩阵为 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/r}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)。

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]\) 的乘法反矩阵为 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ { – r}&1 \end{array}} \right]\)、\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]\) 的乘法反矩阵为 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – r}\\ 0&1 \end{array}} \right]\)。

由此可看出这三类基本矩阵的乘法反矩阵,亦是同类型的基本矩阵。

求二阶方阵 \(A\) 之乘法反矩阵时,可以将 \(A\) 与乘法单位矩阵 \(I\) 写成一增广矩阵,接着,利用矩阵列运算将 \([A|I]\) 化为 \([I|B]\)。

若 \(A\) 可逆,则我们对增广矩阵进行列运算后,可将 \([A|I]\) 化为 \([I|B]\),同时,整个相当于存在一系列基本矩阵 \(E_1,E_2,\cdots,E_n\),使得增广矩阵 \([A|I]\) 的左边乘上这一系列基本矩阵之积 \(E_n,\cdots,E_2,E_1\) 后,可变成 \([I|B]\),亦即 \(E_n…E_2E_1[A|I]=[I|B]\)。

其中,\({E_n}…{E_2}{E_1}A = I\)、\({E_n}…{E_2}{E_1}I = B\),可知 \(BA=I\),

又 \({E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1}B = ({E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1})({E_n}…{E_2}{E_1}) = I\)

因为 \(BA=I\) 且 \({E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1}B = I\),可知 \(A = {E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1}\)

(这是因为若 \(BA=I\),且 \(CB=I\),则 \(A=IA=(CBA)=CI=C\))

即 \(\begin{array}{ll}{A^{ – 1}} &= {({E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1})^{ – 1}} = {({E^{ – 1}}_n)^{ – 1}}…{({E^{ – 1}}_2)^{ – 1}}{({E^{ – 1}}_1)^{ – 1}} \\&= {E_n}…{E_2}{E_1} = B\end{array}\)

由此可知,\(A^{-1}=B\)。亦即当我们对 \([A|I]\) 进行列运算,逐步化成 \([I|B]\) 时,所得之新矩阵 \(B\) 即 \(A\) 之乘法反矩阵 \(A^{-1}\)。换句话说,若 \(A\) 可逆,则存在一系列基本矩阵 \({E_1},{E_2},…,{E_n}\),使得 \({E_n}…{E_2}{E_1} = {A^{ – 1}}\)。

本文中所讨论的是二阶方阵的情况,上述性质亦可推广至三阶、四阶或者任意 \(n\) 阶方阵。



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